केली मानदंड आ रूलेट
Kelly कसौटी एज बला दाँव लगौनिहारकेँ बतबैत अछि जे कतेक दाँव लगाबी। रूलेटक लेल एकर उत्तर स्पष्ट अछि: किछु नहि।
Kelly दाँव = एज / ऑड्स। नकारात्मक एज पर सूत्र नकारात्मक भिन्न दैत अछि, जकर अर्थ अछि दाँव नहि लगाउ। तैयो ई बुझबा मे उपयोगी अछि जे पक्षपातक लाभ उठौनिहार खेलाड़ी दाँवक आकार ओहिना किएक तय करैत छलाह, आ बाकी सभकेँ बजटक अनुसार आकार किएक तय करबाक चाही।
कसौटी
John Kelly (1956) पुछलनि जे ज्ञात एज बला जुआरी खेलक पूँजीपाइखेलक पूँजीखेलक लेल अलग राखल कुल राशि। खेलक पूँजीक प्रबंधनक अर्थ अछि ई तय करब जे प्रति दाँव आ प्रति सत्र एकर कतेक भाग जोखिम मे लगाबी।पूरा पढ़ू → क दीर्घकालिक वृद्धि अधिकतम करबाक लेल दाँवक आकार कोना तय करए। जँ कोनो दाँव b सँ 1 भुगतान दैत अछि, जीतक प्रायिकतागणितप्रायिकताकोनो परिणामक संभावना, 0 सँ 1 वा 0% सँ 100% धरि। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ू → p आ हारक प्रायिकता q = 1 − p अछि, तँ उत्तर अछि खेलक पूँजीक भिन्न f* = (bp − q) / b लगाएब। धनात्मक f* क अर्थ: ओतबा भिन्न लगाउ; शून्य वा ऋणात्मकक अर्थ: दाँव नहि लगाउ। Kelly Bell Labs मे काज करैत छलाह, आ हुनक लेख “A new interpretation of information rate” समस्याकेँ Claude Shannon क सूचना-सिद्धांत मे रखलक: जे जुआरी शोर बला लाइन पर सलाह पबैत अछि, ओ निष्पक्ष ऑड्स पर अधिक सँ अधिक ओही दर सँ खेलक पूँजी बढ़ा सकैत अछि जाहि दर सँ लाइन सूचना ल' जाइत अछि। 1961 मे Leo Breiman सिद्ध कएलनि जे Kelly दाँव दीर्घकाल मे कोनो मौलिक रूप सँ भिन्न रणनीति सँ आगाँ रहैत अछि आ निर्धारित लक्ष्य धरि लगभग सभ सँ कम समय मे पहुँचैत अछि।
रूलेट मे Kelly दाँव
लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → क लेल: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37। स्ट्रेट-अपदाँवस्ट्रेट-अपएकटा संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ू → क लेल: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295। प्रत्येक मानक दाँव नकारात्मक Kelly भिन्न दैत अछि, किएक तँ प्रत्येक दाँवक एज नकारात्मक अछि, आ वृद्धिक लेल सभ सँ नीक दाँव शून्य अछि। रूलेट पर Kelly दाँव हाउस-एज बला पन्नाक बात कहबाक औपचारिक तरीका अछि: एहन कोनो आकार नहि अछि जाहि पर नकारात्मक अपेक्षा बला दाँव खेलक पूँजी बढ़ाबए।
जतए Kelly सचमुच लागू भेल
पक्षपातक लाभ उठौनिहार खेलाड़ी लग एज छल आ आकार तय करबाक समस्या सेहो। Jagger, García-Pelayo परिवार आ Eudaemons, सभकेँ तय करए पड़लनि जे मापल लाभ पर कतेक दाँव लगाबथि: कम दाँव एजकेँ बेकार करैत अछि, बेसी दाँव एज देखाइ पड़बा सँ पहिनहि कंगाल होएबाक जोखिम उठबैत अछि। जे पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खाना मे सँ एकटा। एकरा स्लॉट, कप सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → 30 मे 1 बेर अबैत अछि, ओकरा लेल Kelly कहैत अछि जे ओहि नंबर पर प्रति स्पिन खेलक पूँजीक 0.57% लगाउ: $10,000 पर लगभग $57 प्रति स्पिन, जाहि सँ सामान्य वृद्धि लगभग 0.054% प्रति स्पिन, वा 1,000 स्पिन मे ×1.7 होइत अछि। औसत लाभ एकर दोबर अछि, प्रति स्पिन 0.11%, मुदा Kelly सामान्य खेलक पूँजीकेँ लक्ष्य करैत अछि, औसतकेँ नहि, जकरा किछु भाग्यशाली क्रम फुला दैत अछि। एजक अनुमान अनिश्चित रहैत अछि, तेँ आधा-Kelly सामान्य व्यावहारिक विकल्प अछि।
सामान्य आ औसत
सामान्य खेलक पूँजी आ औसत खेलक पूँजीक बीच बड़ पैघ अंतर अछि। एहन पॉकेट लिअ जे 25 मे 1 बेर अबैत अछि, 44% एज, जे आँकड़ा Thorp अपन उपकरणक लेल दैत छथि। Kelly ओहि पर खेलक पूँजीक 1.26% लगबैत अछि। 1,000 स्पिनक बाद सामान्य खेलक पूँजी लगभग 11.5 गुना बढ़ि जाइत अछि, जखन कि औसत, जकरा किछु बहुत भाग्यशाली क्रम ऊपर खींचैत अछि, लगभग 249 गुना बढ़ैत अछि। Kelly सँ बेसी दाँव औसतकेँ बढ़बैत अछि आ सामान्य परिणामकेँ घटबैत अछि: Kelly दाँवक दोबर पर सामान्य खेलक पूँजी मात्र दोबर होइत अछि, आ Kelly दाँवक अढ़ाइ गुना पर ओ घटि जाइत अछि, यद्यपि प्रत्येक दाँव मे एखनो 44% एज अछि। कम दाँव लगएबाक दाम कम अछि: आधा दाँव वृद्धिक लगभग तीन-चौथाइ बचा लैत अछि।
जखन एज मात्र अनुमान हो
Kelly मानैत अछि जे एज ज्ञात अछि। टेबल पर ओकर अनुमान लगाओल जाइत अछि, आ अनुमान प्रायः बहुत बेसी होइत अछि। Thorp क 44% पर आधारित Epstein क उदाहरण एकटा नंबर अछि जे डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यएकमात्र हरियर पॉकेट जकरा कोनो सम-धन, दर्जन वा कॉलम दाँव कवर नहि करैत अछि; हाउस एजक स्रोत। एकरा सिंगल ज़ीरो, 0 सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → व्हीलक 1,225 स्पिन मे 49 बेर आएल: 25 मे 1 बेर, 44% एज, 1.26% क Kelly दाँव। मुदा निष्पक्ष डबल-ज़ीरो व्हील मे 38 टा नंबर अछि, आ ओहि मे सभ सँ बेसी आबए बला नंबर 1,225 स्पिन मे लगभग नओ मे एक बेर 49 वा बेसी धरि पहुँचैत अछि। कोनो रिकॉर्डक सभ सँ बेसी आबए बला नंबर वैह अछि जकर सभ सँ बेसी मदति भाग्य कएने अछि, तेँ सचमुच पक्षपात बला पॉकेट सेहो रिकॉर्ड मे असल सँ नीक देखाइत अछि: विजेताक अभिशाप। जँ ओ पॉकेट वास्तव मे निष्पक्ष अछि, तँ Kelly दाँव बस एकटा एहन दाँव अछि जे औसतन 5.26% हारैत अछि। सामान्य उपाय अछि Kelly क एक अंश लगाएब आ ताधरि गनैत रहब जाधरि एज नव रिकॉर्ड मे सेहो टिकल नहि रहए (देखू “रूलेट व्हीलक पक्षपात कोना पकड़ी”)।
एज बला लोक
एज जानब आ ओकर नीक उपयोग करब एके बात नहि अछि। Haghani आ Dewey (2016) 61 लोक मे सँ प्रत्येककेँ $25 देलनि जे ओ आधा घंटा धरि एकटा सिक्का पर दाँव लगाबथि, जकरा बारे मे कहल गेल छल जे ओ 60% बेर हेड दैत अछि; जीतल राशिक सीमा $250 छल (खेलाड़ी सभकेँ सीमाक पता ओतए पहुँचले पर लगलनि)। Kelly कहैत अछि जे प्रत्येक बेर हेड पर खेलक पूँजीक 20% लगाउ, आ लेखकक अनुमान अछि जे 10–20% क स्थिर दाँव लगभग 95% बेर सीमा धरि पहुँचि जाइत। मात्र 21% खेलाड़ी ओतए पहुँचलाह। 28% कंगाल भ' गेलाह, 61 मे 18 गोटे एके उछाल पर सभ किछु लगा देलनि, लगभग एक-तिहाइ अपन शुरुआती $25 सँ नीचाँ समाप्त कएलनि, आ औसत भुगतानपाइभुगतानजीतला पर दाँव सँ भेटए बला भुगतान, घुराओल गेल दाँव-राशिक अतिरिक्त, “X to 1” क रूप मे बताओल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → $91 रहल। 61 मे मात्र पाँच गोटे Kelly कसौटीक बारे मे सुनने छलाह। एज रहला पर दाँवक आकार तय करैत अछि जे अहाँ ओकरा बचा सकब वा नहि; एज नहि रहला पर, जेना निष्पक्ष व्हील पर, कोनो आकार मदति नहि करैत अछि।
एकर बदला की अपनाउ
एजक बिना आकार तय करब वृद्धिक नहि, बजटक प्रश्न अछि: दाँव = जतेक अहाँ प्रति स्पिन खर्च करबाक लेल तैयार छी, जे प्रति घंटाक बजट आ टेबलक गति सँ निकलैत अछि (खेलक पूँजीक प्रबंधन बला पन्ना)। सामान्य खेलाड़ीक लेल Kelly क योगदान ओकर उत्तरक स्पष्टता अछि: शून्य। शून्य सँ ऊपर अहाँक प्रत्येक दाँव खेलक दाम अछि, जे अहाँ स्वयं चुनैत छी, कोनो सूत्र अनुकूलित नहि करैत अछि।
भिन्नात्मक Kelly आ “मनी मैनेजमेंट” पर एक टिप्पणी
“रूलेटक लेल Kelly” कहि क' बेचल जाए बला सिस्टम, जे प्रत्येक दाँव मे खेलक पूँजीक निश्चित प्रतिशत सुझबैत अछि, असल मे घटैत दाँवक संग स्थिर दाँवरणनीतिस्थिर दाँवप्रत्येक स्पिन पर एके राशि लगाएब। ओ आधार जकरा सँ प्रत्येक प्रगति-क्रमक तुलना होइत अछि।पूरा पढ़ू → अछि। ओ कुल दाँव-राशिपाइकुल दाँव-राशिकोनो सत्र वा अवधि मे लगाओल कुल राशि, फेर सँ लगाओल जीत सहित। एकरा हैंडल, एक्शन सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → क 2.70% हारैत अछि, आ हारला पर दाँव घटैत अछि तेँ ओ कंगालीकेँ असंभाव्य नहि, बस धीमा बनबैत अछि। बजटकेँ बेसी दिन चलएबाक ई ठीक तरीका अछि; मुदा ई Kelly नहि अछि, जे रुकबाक लेल कहितए।
सूत्र
प्रश्न सभ
मात्र मापल एजक संग, पक्षपात बला व्हीललैबपक्षपात बला व्हीलएहन व्हील जकर भौतिक दोष किछु पॉकेटक संभावना 1/37 सँ बेसी कऽ दैत अछि। दुर्लभ; एकर पता मात्र हजारो दर्ज स्पिन सँ चलैत अछि।पूरा पढ़ू → वा टाइमिंग उपकरण सँ। निष्पक्ष व्हील पर नहि।
किएक तँ एजक अनुमान मे त्रुटि रहैत अछि, आ बेसी दाँवक हानि कम दाँव सँ महग पड़ैत अछि। आधा-Kelly एक-चौथाइ प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मानक चारू कात परिणाम कतेक पसरल अछि, तकर माप। स्ट्रेट-अप लेल बेसी, सम-धन दाँव लेल कम।पूरा पढ़ू → पर वृद्धिक तीन-चौथाइ दैत अछि।
नहि। Kelly एज रहला पर वृद्धि अनुकूलित करैत अछि। खेलक पूँजीक प्रबंधन एज नहि रहला पर खर्च नियंत्रित करैत अछि।
गणितक संग मनोरंजन
पहिने अपने सँ हल करबाक प्रयास करू। सभ समाधान बन्न अछि; तैयार होइ तँ खोलू।
Thorp आ Shannon क भविष्यवाणी यंत्र लगभग 44% एज दैत छल। एक भविष्यवाणी कएल नंबर पर Kelly खेलक पूँजीपाइखेलक पूँजीखेलक लेल अलग राखल कुल राशि। खेलक पूँजीक प्रबंधनक अर्थ अछि ई तय करब जे प्रति दाँव आ प्रति सत्र एकर कतेक भाग जोखिम मे लगाबी।पूरा पढ़ू → क 1.26% लगएबाक लेल कहैत अछि। जँ वैह 44% एज पाँच पड़ोसी नंबर पर पसरल एक दाँव पर भेटए तँ की?
समाधान देखू
उत्तर तखन Kelly खेलक पूँजीक 7.1% कहैत अछि, आ खेलक पूँजी लगभग छह गुना तेजी सँ बढ़ैत अछि: 1,000 दाँव मे लगभग 1.25 मिलियन गुना, लगभग 11.5 गुनाक तुलना मे।
44% एज बला स्ट्रेट-अपदाँवस्ट्रेट-अपएकटा संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ू → 0.04 संभावना सँ जीतैत अछि, किएक तँ 36 × 0.04 = 1.44। Kelly क दाँव एज केँ ऑड्स सँ भाग देल अछि: 0.44/35 = 1.26%। प्रति दाँव सामान्य वृद्धि 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244 अछि, तेँ 1,000 दाँव खेलक पूँजी केँ लगभग e^2.44 ≈ 11.5 सँ गुणा करैत अछि।
एक दाँव केँ पाँच नंबर पर पसारू तँ दाँव 0.20 संभावना सँ जीतैत अछि आ 1 पर 36/5 दैत अछि, अर्थात 6.2 सँ 1: तैयो 44% एज, किएक तँ 0.2 × 7.2 = 1.44। Kelly क दाँव 0.44/6.2 = 7.10% भए जाइत अछि, आ प्रति दाँव वृद्धि 0.01404, लगभग 5.75 गुना बेसी। 1,000 दाँव मे ई e^14.04 अछि, लगभग 1.25 मिलियन।
एज वैह अछि; उतार-चढ़ाव छोट अछि। जे दाँव पाँच मे एक बेर जीतैत अछि, ओ कंगालीक जोखिम बिना खेलक पूँजीक बेसी हिस्सा उठा सकैत अछि, आ Kelly क वृद्धि एकर पुरस्कार दैत अछि। Thorp (1984) ई उदाहरण ई देखएबा लेल दैत छथि जे भविष्यवाणी करए बला खेलाड़ी सेक्टरव्हीलसेक्टरव्हील पर पॉकेटक लगातार चाप, लेआउटक कोनो समूह सँ भिन्न।पूरा पढ़ू → पर किएक दाँव लगबैत छथि। व्यवहार मे पाँच पड़ोसीदाँवपड़ोसीएकटा संख्या आ व्हील पर ओकर दुनू दिसक दू-दू पॉकेट, पाँच स्ट्रेट-अप चिप।पूरा पढ़ू → पर एज सभसँ नीक एकल नंबर सँ किछु कम होइत अछि (Advantage Play देखू)।
एकटा खेलाड़ी दू टा पड़ोसी पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खाना मे सँ एकटा। एकरा स्लॉट, कप सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → तकलनि अछि जे प्रत्येक 37 मे 1 क बदला 25 मे 1 बेर लगैत अछि। की हुनका दुनूक बीचक स्प्लिटदाँवस्प्लिटदू सटल संख्या, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ू → पर 17 सँ 1 मे दाँव लगएबाक चाही, वा प्रत्येक नंबर पर स्ट्रेट-अप? Kelly कतेक कहैत अछि, आ एहन एकटा पॉकेटक तुलना मे खेलक पूँजी कतेक तेजी सँ बढ़ैत अछि?
समाधान देखू
उत्तर कोनो अंतर नहि: स्प्लिट पर खेलक पूँजीक 2.59%, वा प्रत्येक नंबर पर 1.29%। सामान्य खेलक पूँजी 1,000 स्पिन मे लगभग 155 गुना बढ़ैत अछि, एक पॉकेट संग 11.5 गुनाक तुलना मे।
स्प्लिट 2/25 = 0.08 प्रायिकतागणितप्रायिकताकोनो परिणामक संभावना, 0 सँ 1 वा 0% सँ 100% धरि। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ू → सँ जीतैत अछि आ 17 सँ 1 भुगतान दैत अछि, तेँ लगाओल प्रति इकाईपाइइकाईओ आधार दाँव जाहि मे कोनो सिस्टम वा खेलाड़ी काज करैत अछि। प्रगति-क्रम इकाई मे वर्णित होइत अछि जाहि सँ ओ कोनो टेबल पर लागू होअए।पूरा पढ़ू → 18 × 0.08 = 1.44 घुरबैत अछि: 44% एज, एकटा पक्षपात बला पॉकेट जकाँ। Kelly क दाँव एज केँ ऑड्स सँ भाग देल अछि: 0.44/17 = 2.59%।
1.29% क दू टा स्ट्रेट-अप दाँव ठीक वैह परिणाम दैत अछि। जखन कोनो एक नंबर अबैत अछि, एक चिपपाइचिपनिश्चित राशि दर्शाबए बला टोकन, जे दाँव लगएबाक लेल लेआउट पर राखल जाइत अछि। एकरा check सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → 35 सँ 1 जीतैत अछि आ दोसर हारैत अछि, शुद्ध 34 × 1.29% = खेलक पूँजीक 44%, जेना स्प्लिट दैत अछि; जखन कोनो नहि अबैत अछि, दुनू हारैत अछि।
प्रति स्पिन वृद्धि 0.00505 अछि, एक पॉकेट लेल 0.00244 क तुलना मे, तेँ 1,000 स्पिन मे सामान्य खेलक पूँजी e^2.44 ≈ 11.5 गुनाक बदला e^5.046 ≈ 155 गुना बढ़ैत अछि। दू नीक नंबर एकक दोबर सँ बहुत बेसी मूल्यवान अछि, तेँ पक्षपात खोजए बला खेलाड़ी नंबरक समूह पर दाँव लगबैत छथि। Thorp (1984) वैह तुलना करैत छथि।
हँसीक विराम
वृद्धिक लेल सभ सँ नीक रूलेट दाँव एकटा एहन संख्या अछि जे सभ पहिने सँ जनैत अछि।
स्रोत
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”