कंगाल होएबाक जोखिम
लक्ष्य धरि पहुँचबा सँ पहिने अपन पूरा खेलक पूँजी गमा देबाक प्रायिकता।
सम-धन दाँवक लेल कंगाल होएबाक जोखिम जुआरीक कंगाल होएबाक सूत्र सँ चलैत अछि। $500 क खेलक पूँजी, $10 क दाँव आ $600 क लक्ष्य संग अहाँ लगभग 57% बेर लक्ष्य धरि पहुँचैत छी आ बाँकी बेर कंगाल भ' जाइत छी।
प्रश्न
अहाँ लग a इकाईपाइइकाईओ आधार दाँव जाहि मे कोनो सिस्टम वा खेलाड़ी काज करैत अछि। प्रगति-क्रम इकाई मे वर्णित होइत अछि जाहि सँ ओ कोनो टेबल पर लागू होअए।पूरा पढ़ू → खेलक पूँजीपाइखेलक पूँजीखेलक लेल अलग राखल कुल राशि। खेलक पूँजीक प्रबंधनक अर्थ अछि ई तय करब जे प्रति दाँव आ प्रति सत्र एकर कतेक भाग जोखिम मे लगाबी।पूरा पढ़ू → अछि आ अहाँ a + b इकाई धरि पहुँचए चाहैत छी, एक बेर मे एक इकाईक सम-धन दाँवदाँवसम-धन दाँवलाल/कारी, विषम/सम, हाई/लो। 18 संख्या, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ू → लगबैत, जकर जीतक प्रायिकतागणितप्रायिकताकोनो परिणामक संभावना, 0 सँ 1 वा 0% सँ 100% धरि। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ू → p = 18/37 आ हारक प्रायिकता q = 19/37 अछि। शून्य पर पहुँचबा सँ पहिने लक्ष्य धरि पहुँचबाक संभावना की अछि? एकर उत्तर 1650 क दशक मे पास्कल, फर्मा आ ह्यूजेंस निकालने छलाह, आ ई प्रायिकताक सभ सँ पुरान परिणाम मे सँ एक अछि।
जुआरीक कंगाल होएबाक सूत्र
P(लक्ष्य धरि पहुँचब) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)। कंगाल होएबाक जोखिमगणितकंगाल होएबाक जोखिमलक्ष्य वा स्पिनक गिनती धरि पहुँचबा सँ पहिने पूरा खेलक पूँजी गमएबाक प्रायिकता।पूरा पढ़ू → एक मे सँ एकरा घटौला पर भेटैत अछि। q/p = 19/18 ≈ 1.0556 रहला पर ई अनुपात इकाईक संख्याक संग घातांकीय रूप सँ बढ़ैत अछि, तेँ सूत्र छोट इकाईकेँ कठोर दंड दैत अछि: लक्ष्य धरि पहुँचबा मे जतेक बेसी दाँव लगैत अछि, बाट मे 2.70% क शुल्क ओतबे बेर चुकाबए पड़ैत अछि।
एकरा कोना पढ़ी
छोट इकाई नोकसान करैत अछि। $10 क दाँव सँ $500 केँ दोबर करबाक प्रयास 6% बेर सफल होइत अछि; $500 क एके दाँव सँ 48.6% बेर। नकारात्मक-अपेक्षा बला खेल मे साहसी खेल, अर्थात कम आ पैघ दाँव, लक्ष्य पाबि लेबाक संभावना अधिकतम करैत अछि, किएक तँ एहि सँ एज लगबाक बेर न्यूनतम होइत अछि। ई अहाँक संग जे होएत ओकर प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मानक चारू कात परिणाम कतेक पसरल अछि, तकर माप। स्ट्रेट-अप लेल बेसी, सम-धन दाँव लेल कम।पूरा पढ़ू → सेहो अधिकतम करैत अछि, आ साँझ जल्दी समाप्त क' दैत अछि। एहि प्रमेयकेँ “साहसी खेल सर्वोत्तम अछि” कहल जाइत अछि, आ एकरा ड्यूबिन्स आ सैवेज 1965 मे सिद्ध केलनि।
समस्या कतए सँ शुरू भेल
ई प्रश्न रूलेटो सँ पुरान अछि। 1656 मे पास्कल फर्माकेँ एकटा पहेली देलनि: दू खेलाड़ी तीन पासा फेकैत अछि, दुनू 12 गोटी सँ शुरू करैत अछि; 11 अएला पर एक गोटी एक दिस, 14 अएला पर दोसर दिस चलैत अछि। दुनू एकरा हल केलनि, आ ह्यूजेंस, जे गणितज्ञ पियरे द कार्कावीक एकटा पत्र सँ एकर बारे मे सुनलनि, 1657 मे प्रायिकता पर पहिल पोथीक पाँचम प्रश्नक रूप मे एकरा छापलनि, उत्तरक संग मुदा बिना प्रमाणक। एगारह 27 तरहेँ आ चौदह मात्र 15 तरहेँ आबि सकैत अछि, तेँ प्रत्येक गोटी 14 मे 9 बेर पहिल खेलाड़ीक दिस चलैत अछि, आ ऊपरक सूत्र, दुनू लग 12 गोटी रहला पर, ओकरा सभ किछु हारबाक तुलना मे सभ किछु जीतबाक लगभग 1,157 गुना बेसी संभावना दैत अछि। 2.70% एज एहि सँ बहुत छोट अछि, मुदा ओही सूत्र सँ देखाइत अछि जे बहुत रास दाँव मे ओ की करैत अछि।
एकटा असली साहसी दाँव
अप्रैल 2004 मे युवा अंग्रेज एश्ली रेवेल अपन कपड़ा समेत लगभग सभ किछु बेचि देलनि आ $1,35,300 ल' क' लास वेगासक Plaza पहुँचलाह। किछु छोट दाँवक बाद ओ पूरा राशि एक बेर लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → पर लगा देलनि। गेंदउपकरणगेंदछोट गेंद जे रोटरक उनटा दिशा मे ट्रैक पर छोड़ल जाइत अछि। आधुनिक गेंद आइवोरिन वा टेफ्लॉनक होइत अछि, 18–21 mm।पूरा पढ़ू → लाल 7 पर रुकल आ ओ $2,70,600 ल' क' बाहर निकललाह। डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यएकमात्र हरियर पॉकेट जकरा कोनो सम-धन, दर्जन वा कॉलम दाँव कवर नहि करैत अछि; हाउस एजक स्रोत। एकरा सिंगल ज़ीरो, 0 सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → व्हील पर ओहि एक स्पिनक संभावना 47.37% छल आ एक दाँव पर 5.26% एजक कारण औसतन ओकर खर्च $7,121 छल। $10 क दाँव मे बाँटि देला पर ओही लक्ष्यक आशा लगभग नहि रहैत। साहसी खेल दाँवकेँ नीक नहि बनबैत अछि; ओ ओकरा जतेक संभव ओतेक छोट बनबैत अछि।
लक्ष्यक बिना कंगाल होएबाक जोखिम
जँ अहाँ मात्र कंगाल होएबा धरि खेलैत छी वा N स्पिनक बाद रुकि जाइत छी, तँ प्रश्न बनैत अछि “N स्पिनक भीतर हमर खेलक पूँजीक शून्य छुबाक संभावना की अछि?”। सामान्य N क लेल कोनो बंद सूत्र नहि अछि, मुदा एहि साइटक सिम्युलेटर एकरा निकालैत अछि: लाल पर $10 संग $500 क खेलक पूँजी 100 स्पिन मे लगभग कहियो कंगाल नहि होइत अछि (1% सँ कम), 500 स्पिन मे लगभग 9% बेर, आ 5,000 मे लगभग 95% बेर कंगाल होइत अछि। रुकबाक कोनो नियम नहि रहला पर प्रायिकता 100% दिस जाइत अछि, आ यैह हाउस एजगणितहाउस एजप्रत्येक दाँवक ओ भाग जे कैसिनो औसतन रखैत अछि: यूरोपीय रूलेट मे 2.70%।पूरा पढ़ू →क दीर्घकालीन रूप अछि।
- p10 −$500
- p25 −$500
- माध्यिका −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
कतेक काल, आ कतेक आगाँ
दू आओर शास्त्रीय परिणाम ओहि प्रश्नक उत्तर दैत अछि जे खेलाड़ी वास्तव मे पुछैत अछि। लक्ष्यक बिना, स्थिर सम-धन दाँव यूरोपीय व्हील पर खेलक पूँजीक प्रत्येक इकाईक लेल औसतन 37 स्पिन आ अमेरिकी पर 19 स्पिन चलैत अछि, किएक तँ प्रत्येक स्पिन औसतन इकाईक 1/37 लैत अछि (अमेरिकी व्हील पर 1/19): 100 इकाई औसतन 3,700 स्पिन चलैत अछि, यद्यपि एहन आधा सत्र 3,134 क भीतरे समाप्त भ' जाइत अछि (Session Length and Cost देखू)। आ खेलक पूँजी कतबो पैघ हो, यूरोपीय व्हील पर कहियो k इकाई आगाँ होएबाक संभावना (18/19)ᵏ अछि। ई एक इकाईक लेल 95% आ दसक लेल 58% अछि, मुदा कोनो खेलक पूँजी, कतबो गहींर हो, कहियो 13 इकाई आगाँ होएबाक बराबर संभावना नहि दैत अछि; अमेरिकी व्हील पर संभावना (9/10)ᵏ अछि आ 7 इकाई पर आधा सँ नीचाँ खसि जाइत अछि।
पचास-पचास संभावनाक लेल खेलक पूँजी
प्रश्नकेँ उनटि दिऔ: सभ किछु गमएबा सँ पहिने कोनो निश्चित राशि जीतबाक कम सँ कम पचास-पचास संभावनाक लेल अहाँकेँ कतेक ल' क' आबए पड़त? छोट जीतक लेल बेसी नहि। पैघ जीतक लेल आवश्यक खेलक पूँजी तेजी सँ बढ़ैत अछि, आ एकटा बिंदुक बाद कोनो पूँजी पर्याप्त नहि, किएक तँ अंतहीन पूँजियो कहियो ओतेक आगाँ पहुँचबाक पचास-पचास सँ कम संभावना दैत अछि। टेलर (2021) एकरा दोसर ढंग सँ कहैत छथि: अमेरिकी व्हील पर 100 इकाई धरि पहुँचबाक पचास-पचास संभावनाक लेल अहाँकेँ 94 सँ शुरू करए पड़त, 6 जीतबाक लेल 94 जोखिम मे दैत। यूरोपीय व्हील पर 88 चाही।
व्यावहारिक सीख
तय करू जे अहाँ की करए चाहैत छी। जँ लक्ष्य कोनो निश्चित जीत अछि, तँ पैघ आ कम दाँव लगाउ। जँ लक्ष्य नमगर साँझ अछि, तँ छोट दाँव लगाउ आ मानि लिअ जे एज पैघ कुल दाँव-राशिपाइकुल दाँव-राशिकोनो सत्र वा अवधि मे लगाओल कुल राशि, फेर सँ लगाओल जीत सहित। एकरा हैंडल, एक्शन सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू →क 2.70% लेत। जँ लक्ष्य दुनू अछि, तँ किछु छोड़ए पड़त, आ प्रायः ओ लक्ष्ये होइत अछि।
सूत्र
प्रश्न सभ
मार्टिंगेलरणनीतिमार्टिंगेलप्रत्येक हारिक बाद दाँव दोबर करए बला प्रगति-क्रम। ई की करैत अछि आ की नहि, ताहि लेल रणनीति भाग देखू।पूरा पढ़ू → छोट सत्रक लेल एकरा घटबैत अछि आ नमगर सत्र मे बहुत बढ़ा दैत अछि। पैघ इकाई संग स्थिर दाँवरणनीतिस्थिर दाँवप्रत्येक स्पिन पर एके राशि लगाएब। ओ आधार जकरा सँ प्रत्येक प्रगति-क्रमक तुलना होइत अछि।पूरा पढ़ू → एकरा घटएबाक ईमानदार तरीका अछि।
ऊपरक सूत्र सम-धनक लेल अछि। बेसी प्रसरण बला दाँव मे छोट दाँव-राशि पर कंगाल होएबाक संभावना बेसी होइत अछि आ लक्ष्य ऊबड़-खाबड़ ढंग सँ भेटैत अछि; कैलकुलेटरक उपयोग करू।
लक्ष्य दिस प्रत्येक डेग कंगाल होएबा दिस प्रत्येक डेग सँ किछु कम संभावित अछि; ई अनुपात डेगक संख्याक संग चक्रवृद्धि होइत अछि।
गणितक संग मनोरंजन
पहिने अपने सँ हल करबाक प्रयास करू। सभ समाधान बन्न अछि; तैयार होइ तँ खोलू।
अहाँ लग $100 अछि आ अहाँकेँ $1,000 चाही, मात्र लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → पर दाँव लगा कए। योजना एक: एक बेर मे $1 लगाउ। योजना दू: जाबत $500 पार नहि करी ताबत जे किछु अछि सभ लगाउ, फेर $1,000 धरि पहुँचबा लेल जतेक चाही ओतबे। कोन योजना नीक अछि, आ कतेक?
समाधान देखू
उत्तर योजना दू, बहुत बेसी। ई लगभग 9.0% बेर $1,000 धरि पहुँचैत अछि, निष्पक्ष 10% क लग। योजना एक 10²² मे लगभग 7 बेर सफल होइत अछि।
निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलएहन खेल जाहि मे कोनो पक्षकेँ एज नहि रहैत अछि: प्रत्येक दाँवक अपेक्षित मान शून्य होइत अछि।पूरा पढ़ू → मे अहाँ $100 सँ $1,000 धरि दस मे एक बेर पहुँचितहुँ, जे किछु करितहुँ, किएक तँ अहाँक पाइक औसत मान $100 पर रहैत अछि।
एज प्रत्येक दाँवक 2.70% लैत अछि, तेँ अहाँ कुल मिला कए जतेक कम लगाएब, ओतेक दस मे एकक लग रहब। योजना दू किछुए दाँव मे फैसला कए दैत अछि: $100 बनैत अछि $200, $400, $800, आ तखन $200 पर्याप्त अछि। ई लगभग 9.0% बेर सफल होइत अछि। योजना एक मे यात्रा खतम होएबा सँ पहिने हजारो दाँव लगैत अछि, आ एज, जे प्रत्येक पर छोट अछि, जुड़ि कए लगभग निश्चित कंगाली बनि जाइत अछि।
ई Dubins–Savage परिणामक सभसँ सरल रूप अछि (Epstein, 2013): जे खेल हाउसक पक्ष मे हो, ओहि मे जतेक चाही ओतेक लगाउ, जतेक कम बेर भए सकए।
अहाँ लग $500 अछि आ अहाँकेँ $1,000 चाही, आ भेटिते रुकि जाएब। अहाँ एक तरहक दाँव चुनैत छी आ ओकरा दोहरबैत छी जाबत ओ एक बेर नहि जीतए वा पाइ खतम नहि भए जाए। कोन तरहक दाँव सभसँ नीक संभावना दैत अछि?
समाधान देखू
उत्तर लाल पर एकटा $500क दाँव: 48.6%। जे कोनो योजना पाइ केँ छोट दाँव सभ मे बाँटैत अछि, ओ खराब करैत अछि।
प्रत्येक दाँवक राशि एना चुनू जे एक जीत पर्याप्त हो: स्ट्रेट-अपदाँवस्ट्रेट-अपएकटा संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ू → पर $30 सँ $1,050 जीत, स्प्लिटदाँवस्प्लिटदू सटल संख्या, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ू → पर $60 सँ $1,020 जीत, आदि। तखन ई संभावना गनू जे पाइ खतम होएबा सँ पहिने कम सँ कम एक दाँव जीतए। सोलह टा $30क स्ट्रेट-अप सभक हारबाक संभावना (36/37)¹⁶ = 64.5% अछि, तेँ ओ 35.5% बेर $1,000 धरि पहुँचैत अछि।
तालिका प्रत्येक दाँव देखबैत अछि। लाल सभसँ नीक अछि किएक तँ ओ एक्के दाँव मे पहुँचैत अछि, तेँ एज एक्के बेर, $500 पर, देल जाइत अछि। सिक्स लाइनदाँवसिक्स लाइनदू सटल पंक्ति मे छह संख्या, भुगतान 5:1। फ्रेंच: sixain।पूरा पढ़ू → दोसर स्थान पर अछि किएक तँ ओकरा मात्र तीन चाही। एकल दर्जनदाँवदर्जन1–12, 13–24 वा 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ू → दाँव सभसँ खराब अछि, 12/37 क संभावना; $250 क इकाईपाइइकाईओ आधार दाँव जाहि मे कोनो सिस्टम वा खेलाड़ी काज करैत अछि। प्रगति-क्रम इकाई मे वर्णित होइत अछि जाहि सँ ओ कोनो टेबल पर लागू होअए।पूरा पढ़ू → मे खेलला पर सेहो, जाबत $1,000 वा बेसी नहि भए जाए, दर्जन मात्र 46.4% बेर पहुँचैत अछि।
Bollman (2024) अमेरिकी व्हील लेल वैह तालिका बनबैत छथि। हुनक दर्जन पंक्ति मे एकटा चूक अछि: ओहि मे 12/38 = 31.6% होएबाक चाही।
दाँवदाँवक राशि × दाँवक संख्या$1,000 धरि पहुँचबाक संभावनास्ट्रेट-अप$30 × 1635.5%स्प्लिट$60 × 835.9%स्ट्रीट$90 × 534.5%कॉर्नर$125 × 436.7%सिक्स लाइन$166, $166, $16841.2%दर्जन$500 × 132.4%लाल$500 × 148.6%अहाँ लाल पर एक इकाई लगबैत छी, स्पिनक बाद स्पिन, एहन खेलक पूँजीपाइखेलक पूँजीखेलक लेल अलग राखल कुल राशि। खेलक पूँजीक प्रबंधनक अर्थ अछि ई तय करब जे प्रति दाँव आ प्रति सत्र एकर कतेक भाग जोखिम मे लगाबी।पूरा पढ़ू → संग जे कहियो खतम नहि होइत अछि। पहिल स्पिनक बाद अहाँ एक इकाई आगाँ वा एक इकाई पाछाँ छी। की संभावना अछि जे अहाँ फेर कहियो ठीक बराबर पर होएब?
समाधान देखू
उत्तर 37 मे 36, 97.3%। अमेरिकी व्हील पर ई 38 मे 36, 94.7% अछि।
जँ पहिल स्पिन जीतैत अछि (37 मे 18 बेर), तँ अहाँ एक इकाई आगाँ छी, आ एज प्रत्येक अंतहीन सत्र केँ नीचाँ खिंचैत अछि, तेँ देर-सबेर अहाँ फेर बराबर सँ होइत गुजरब: ई निश्चित अछि। जँ हारैत अछि (37 मे 19 बेर), तँ अहाँकेँ एक इकाई चढ़ए पड़त, आ कहियो एक इकाई आगाँ होएबाक संभावना 18/19 अछि (ऊपरक तालिका देखू)।
संगे: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37।
सामान्यतः संभावना 1 मे सँ एक स्पिन जीतबा आ हारबाक संभावनाक अंतर घटा कए अछि: यूरोपीय व्हील पर 1 − 1/37, अमेरिकी पर 1 − 2/38। बिना शून्यव्हीलशून्यएकमात्र हरियर पॉकेट जकरा कोनो सम-धन, दर्जन वा कॉलम दाँव कवर नहि करैत अछि; हाउस एजक स्रोत। एकरा सिंगल ज़ीरो, 0 सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → बला खेल मे अंतर शून्य अछि आ संभावना 1: स्कोर सदिखन बराबर पर घुरि अबैत अछि। Epstein (2013) सामान्य नियम दैत छथि।
Pascal क 1656 क पहेली: दू खेलाड़ी तीन पासा फेकैत छथि, प्रत्येक 12 गोटी सँ शुरू करैत छथि। प्रत्येक 11 एक गोटी पहिल खेलाड़ी लग पठबैत अछि, प्रत्येक 14 एक गोटी दोसर लग; आन फेक नहि गनल जाइत अछि। पहिल खेलाड़ीक सभ 24 जीतबाक संभावना कतेक अछि? आ जँ अहाँ एकर बदला मे प्रत्येक स्पिन लाल पर 1 इकाई एहन मित्रक विरुद्ध लगाबी जे बैंक बनैत छथि, दुनू 12 इकाई सँ, तँ अहाँक सभ 24 जीतबाक संभावना कतेक अछि?
समाधान देखू
उत्तर पहिल खेलाड़ी 1,158 मे लगभग 1,157 बेर जीतैत छथि। अहाँ, लाल पर, सभ 24 इकाई मात्र लगभग 34% बेर जीतैत छी।
तीन पासा 11 केँ 27 तरहेँ आ 14 केँ 15 तरहेँ बनबैत अछि, तेँ जे गोटी चलैत अछि ओ 42 मे 27 बेर, 14 मे 9 बेर, पहिल खेलाड़ी लग जाइत अछि। दुनू पक्ष 12 सँ शुरू करैत, सभ किछु लेबाक संभावना 1/(1 + r¹²) अछि, जतए r दोसर पक्षक संभावना आ अहाँक संभावनाक अनुपात अछि।
पहिल खेलाड़ी लेल r = 5/9, आ (5/9)¹² ≈ 0.00086, तेँ संभावना लगभग 0.99914 अछि: 9¹² सँ 5¹² क ऑड्स, वा 2,82,42,95,36,481 सँ 24,41,40,625, लगभग 1,157 सँ 1। Huygens 1657 मे ठीक इएह संख्या छपलनि।
लाल पर, शून्यक कारणेँ r = 19/18, आ (19/18)¹² ≈ 1.913: अहाँक संभावना 1/2.913 ≈ 34.3% अछि। सिक्का 50% देत। प्रत्येक दाँव पर 2.70% एज, जतेक दाँव लगैत अछि ओहि पर जुड़ि कए, 16 अंकक अंतर बनि जाइत अछि।
हँसीक विराम
साहसी खेल सर्वोत्तम अछि। ओ जल्दी खतमो भ' जाइत अछि।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Huygens केँ पत्र, 28 सितंबर 1656, पास्कल द्वारा फर्माकेँ देल गेल समस्या पर।
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”