रूलेट मानक विचलन
रूलेटक मानक विचलन, अर्थात प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मानक चारू कात परिणाम कतेक पसरल अछि, तकर माप। स्ट्रेट-अप लेल बेसी, सम-धन दाँव लेल कम।पूरा पढ़ू →क वर्गमूल, कोनो परिणाम आ ओकर अपेक्षाक बीचक सामान्य दूरी अछि।
प्रति $1 दाँव पर स्ट्रेट-अपक लेल σ 5.84 आ लालक लेल 1.00 अछि। सत्रक लेल एकरा दाँवक राशि सँ आ स्पिनक संख्याक वर्गमूल सँ गुणा करू।
मोटामोटी नियम
लगभग दू तिहाई सत्र अपेक्षा सँ एक σ क भीतर आ 95% दूक भीतर अबैत अछि। $10 पर लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → क 100 स्पिन मे (अपेक्षित −$27, σ = $100) अधिकांश सत्र −$127 आ +$73 क बीच, आ लगभग सभ −$227 आ +$173 क बीच रहैत अछि। ओहि सीमा सँ बाहरक परिणाम कोनो बातक प्रमाण नहि अछि, एकरा छोड़ि जे बीस मे एक सत्र एहिना होइत अछि।
√N किएक
अपेक्षित हानिगणितअपेक्षित हानिकुल लगाओल राशि सँ गुणा कएल अपेक्षित मान; कोनो सत्र वा अवधि मे औसतन गमाओल राशि।पूरा पढ़ू → N क अनुपात मे बढ़ैत अछि; फैलाव √N क अनुपात मे बढ़ैत अछि। छोट N पर फैलाव भारी पड़ैत अछि आ सत्र हल्लुक झुकाव बला सिक्का उछालब सन होइत अछि। पैघ N पर हानि फैलावकेँ पाछाँ छोड़ि दैत अछि। ओ बिंदु, जतए अपेक्षित हानि एक मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरणक वर्गमूल; परिणामक अपेक्षित मान सँ सामान्य दूरी।पूरा पढ़ू →क बराबर होइत अछि, सम-धनक लेल N = (σ/edge)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 स्पिन पर, आ स्ट्रेट-अपदाँवस्ट्रेट-अपएकटा संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ू →क लेल (5.84/0.027)² ≈ 46,800 पर अछि। एहि संख्या सँ नीचाँ भाग्य निर्णय करैत अछि; ऊपर एज।
एकर उपयोग
कोनो सत्र असामान्य छल वा नहि, ई जाँचबाक लेल (परिणाम − EV)/σ निकालू। लाल पर $10 लगाबए बला जे खेलाड़ी 100 स्पिनक बाद +$150 पर समाप्त करैत अछि, ओ (150 + 27)/100 = 1.77σ पर अछि, 25 मे एक परिणाम: भाग्यशाली, मुदा उल्लेखनीय नहि। ओही +$150 पर स्ट्रेट-अप खेलाड़ी 0.3σ पर अछि: साधारण राति। एके डॉलर-परिणाम अलग-अलग दाँव पर अलग-अलग अर्थ रखैत अछि।
अनुपातक मानक त्रुटि
एही गणित सँ पता चलैत अछि जे आँकड़ा मे एज देखबाक लेल कतेक स्पिन चाही। देखल गेल जीत-अनुपातक मानक त्रुटि √(p(1 − p)/N) अछि। N = 1,000 संग लालक लेल: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%। निष्पक्ष सिक्का आ लालक बीचक अंतर 1.35% अछि, तेँ 1,000 स्पिनक बादो अहाँ विश्वासक संग दुनूकेँ अलग नहि क' सकैत छी। 10,000 क बाद मानक त्रुटि 0.5% अछि आ अहाँ क' सकैत छी। एही कारण व्हीलक पक्षपात पकड़बाक लेल एतेक स्पिन लगैत अछि।
विषमता पर सावधानी
छोट सत्र मे स्ट्रेट-अपक परिणाम सामान्य वितरण सँ बहुत दूर रहैत अछि: अधिकांश सत्र प्रति स्पिन लगातार −$10 होइत अछि, बीच-बीच मे +$350 क छलाँग संग। ±1σ नियम फैलावकेँ सही बतबैत अछि, मुदा जा धरि N सैकड़ा मे नहि पहुँचैत अछि, आकारकेँ ठीक सँ नहि। सम-धन दाँवदाँवसम-धन दाँवलाल/कारी, विषम/सम, हाई/लो। 18 संख्या, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ू →क लेल सामान्य सन्निकटन लगभग 30 स्पिन सँ नीक काज करैत अछि।
सूत्र
प्रश्न सभ
ई एहि बातक प्रमाण अछि जे अहाँ लगभग 40 सत्र खेललहुँ, वा चालीस मे सँ ओहि एक भाग्यशाली सत्र मे रही। एकरा फेर सँ करि क' देखू।
ओ कम सँ कमतर झूलैत अछि: औसतक मानक त्रुटि σ/√N अछि। N = 10,000 पर ई दाँवक राशिक 1% अछि।
गणितक संग मनोरंजन
पहिने अपने सँ हल करबाक प्रयास करू। सभ समाधान बन्न अछि; तैयार होइ तँ खोलू।
यूरोपीय व्हीलक 100 स्पिन मे, लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → पर एक इकाईपाइइकाईओ आधार दाँव जाहि मे कोनो सिस्टम वा खेलाड़ी काज करैत अछि। प्रगति-क्रम इकाई मे वर्णित होइत अछि जाहि सँ ओ कोनो टेबल पर लागू होअए।पूरा पढ़ू → कम सँ कम 51 जीत संग आगाँ रहैत अछि, आ स्ट्रेट-अपदाँवस्ट्रेट-अपएकटा संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ू → पर एक इकाई आगाँ रहैत अछि जँ ओकर नंबर कम सँ कम 3 बेर लागए। घंटी वक्र सँ दुनू संभावनाक अनुमान लगाउ, फेर ओकरा सटीक उत्तर सँ मिलाउ।
समाधान देखू
उत्तर लाल: घंटी वक्र 35.6% दैत अछि आ सटीक उत्तर 35.5% अछि। स्ट्रेट-अप: घंटी वक्र 55.0% दैत अछि आ सटीक उत्तर 50.9% अछि। ई छोट रस्ता लाल लेल काज करैत अछि आ एकल नंबर लेल चुकि जाइत अछि।
लाल: जीतक औसत 100 × 18/37 = 48.6, फैलाव √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0 संग। आगाँ रहबाक अर्थ 51 वा बेसी; बीचक चिह्न, 50.5, औसत सँ 0.37 फैलाव ऊपर अछि, आ घंटी वक्र ओहि सँ ऊपर 35.6% रखैत अछि। 51, 52 … 100 जीतक सटीक संभावना जोड़ला सँ 35.5% भेटैत अछि।
स्ट्रेट-अप: हिटक औसत 100/37 = 2.70, फैलाव √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62 संग। तीन वा बेसी हिटक अर्थ 2.5 सँ ऊपर, औसत सँ 0.12 फैलाव नीचाँ: घंटी वक्र सँ 55.0%। सटीक रूप सँ, ई 1 मे सँ 0, 1 आ 2 हिटक संभावना घटा कए अछि, 6.5% + 17.9% + 24.7%, जे 50.9% छोड़ैत अछि।
घंटी वक्र केँ औसतक दुनू दिस भरपूर परिणाम चाही। लाल लग 100 स्पिनक बाद ई अछि; जे नंबर औसतन तीन सँ कम बेर लगैत अछि, ओकरा लग नहि। वक्र “कोनो हिट नहि” केँ 8.7% सेहो दैत अछि, जखन कि सही संभावना 6.5% अछि। Taylor (2021) द्विपद आ घंटी वक्र केँ एहिना संग-संग रखैत छथि।
हँसीक विराम
बीस मे एक सत्र दू सिग्मा सँ बाहर रहैत अछि। कियो ने कियो सदिखन पूँछ पर रहैत अछि।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.