समस्या: टेबलक सीमा
$500 बला टेबल पर $10 क मार्टिंगेल। ई कतेक बेर टूटैत अछि, टूटला पर कतेक हानि करैत अछि, आ की सीमा बढ़ौला सँ मदति भेटैत अछि?
लगातार छह हार एकरा तोड़ि दैत अछि: प्रति चक्र 1.8%, 100-स्पिनक सत्र मे सँ लगभग 60% मे। टूटबाक दाम $630 अछि। सीमा $5,000 कएला पर टूटब दुर्लभ (प्रति चक्र 0.25%) आ पैघ ($5,110) भ' जाइत अछि। कोनो सीमा पर प्रति डॉलर लगाओल दाँवक अपेक्षित हानि 2.70% अछि।
समस्या
एकटा खेलाड़ी लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → पर $10 लगबैत अछि आ प्रत्येक हारक बाद दाँव दोबर करैत अछि, जीतक बाद फेर सँ शुरू करैत अछि। टेबलक अधिकतम सीमा $500 अछि। (a) कतेक लगातार हार प्रगति-क्रमरणनीतिप्रगति-क्रमपछिला परिणामक आधार पर दाँव बदलए बला कोनो नियम। नकारात्मक प्रगति-क्रम हारलाक बाद बढ़बैत अछि, सकारात्मक जीतलाक बाद।पूरा पढ़ू → केँ तोड़ैत अछि? (b) प्रति चक्र प्रायिकतागणितप्रायिकताकोनो परिणामक संभावना, 0 सँ 1 वा 0% सँ 100% धरि। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ू → की अछि? (c) टूटला पर कतेक गमाओल जाइत अछि? (d) $5,000 क सीमा उत्तर सभकेँ कोना बदलैत अछि? (e) की कोनो सीमा सिस्टमकेँ लाभकारी बनबैत अछि?
हल (a)–(c)
दाँव: 10, 20, 40, 80, 160, 320। सातम 640 > 500 होएत, तेँ छह हार एकरा तोड़ि दैत अछि। (b) लाल पर p(हार) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, प्रति चक्र लगभग 1.8%। एक चक्र औसतन लगभग दू स्पिन चलैत अछि, तेँ 100-स्पिनक सत्र मे मोटामोटी 50 चक्र होइत अछि आ p(कम सँ कम एक बेर टूटब) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%। (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, अर्थात 63 आधार इकाईपाइइकाईओ आधार दाँव जाहि मे कोनो सिस्टम वा खेलाड़ी काज करैत अछि। प्रगति-क्रम इकाई मे वर्णित होइत अछि जाहि सँ ओ कोनो टेबल पर लागू होअए।पूरा पढ़ू →, ओहि $10 क बदला जे चक्र जीतबाक प्रयास क' रहल छल।
हल (d)
$5,000 पर: 2,560 धरिक दाँव मान्य अछि; दसम दाँव, 5,120, अस्वीकार होइत अछि। नओ हार एकरा तोड़ैत अछि: (19/37)⁹ ≈ 0.25% प्रति चक्र, 100-स्पिनक सत्र मे सँ लगभग 11% मे। टूटला पर हानि: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110। खेलाड़ी एकटा पैघ विपत्तिक दाम पर एकटा दुर्लभ विपत्ति किनलक। बहुत रास सत्र मे टूटबाक अपेक्षित दाम $500 क सीमा पर p × हानि ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 प्रति चक्र आ $5,000 पर 0.0025 × 5,110 = $12.8 अछि; दुनू लग-लग अछि मुदा बराबर नहि, आ प्रत्येक चक्रक अपेक्षित हानिगणितअपेक्षित हानिकुल लगाओल राशि सँ गुणा कएल अपेक्षित मान; कोनो सत्र वा अवधि मे औसतन गमाओल राशि।पूरा पढ़ू → आ जीतए बला चक्र सभक कमाएल $10 क योग अछि।
हल (e)
नहि। प्रति चक्र अपेक्षित हानि = (चक्र मे अपेक्षित कुल दाँव) / 37, कोनो सीमा पर, किएक तँ प्रत्येक दाँव अपनहि राशिक −1/37 अछि। सीमा मात्र ई तय करैत अछि जे हानि बहुत रास छोट जीत आ किछु पैघ हार मे कोना बँटैत अछि। जँ कोनो सीमा नहि हो आ खेलक पूँजीपाइखेलक पूँजीखेलक लेल अलग राखल कुल राशि। खेलक पूँजीक प्रबंधनक अर्थ अछि ई तय करब जे प्रति दाँव आ प्रति सत्र एकर कतेक भाग जोखिम मे लगाबी।पूरा पढ़ू → अनंत हो, तँ प्रगति-क्रम एहि अर्थ मे “काज करत” जे ई कहियो नहि टूटत, आ संगहि ई असीमित राशिक दाँव लगाओत जकर अपेक्षित हानि ओहि असीमित राशिक 2.70% होएत। टेबलक सीमाटेबलटेबलक सीमाअनुमत न्यूनतम आ अधिकतम दाँव। अधिकतमे दोबर करए बला प्रगति-क्रमकेँ रोकैत अछि।पूरा पढ़ू → मार्टिंगेलरणनीतिमार्टिंगेलप्रत्येक हारिक बाद दाँव दोबर करए बला प्रगति-क्रम। ई की करैत अछि आ की नहि, ताहि लेल रणनीति भाग देखू।पूरा पढ़ू → केँ काज करबा सँ नहि रोकैत अछि। गणित रोकैत अछि।
दू टा असली टेबल
Thorp क उदाहरण $1 बला टेबल अछि जकर अधिकतम सीमा $1,000 अछि, जतए एकटा खेलाड़ी राति खएबाक लेल एक-एक डॉलर क' क' $30 जीतए चाहैत अछि। 1, 2, 4 … 512 क दाँव दस टा दाँवक अनुमति दैत अछि, तेँ लगातार दस हार प्रगति-क्रमकेँ तोड़ैत अछि: यूरोपीय व्हील पर 785 चक्र मे एक बेर (अमेरिकी पर 613 मे एक बेर), $1,023 क दाम पर। तीसो चक्र 96.2% बेर सफल होइत अछि। बाकी 3.8% मे लगभग $1,000 जाइत अछि, आ साँझक औसत परिणाम −$9.17 अछि, जे ठीक ओहि $339 क 1/37 अछि जे तीसो चक्र औसतन दाँव पर लगबैत अछि। $2,000 अधिकतम बला $5 क टेबल कोनो भिन्न नहि: $1,280 धरिक दाँव नओ टा दाँवक अनुमति दैत अछि, आ टूटब यूरोपीय व्हील पर 403 चक्र मे एक बेर (अमेरिकी पर 323 मे एक बेर) अबैत अछि आ $2,555 क दाम लैत अछि।
एकटा धनिक खेलाड़ी
प्रगति-क्रमकेँ कम सीमाक बदला गहींर खेलक पूँजी दिअ: 1,000 इकाई, एक इकाईक आधार आ लाल पर 1,000 स्पिन; जखन अगिला दोबर दाँव बचल राशि सँ बेसी हो, तखन फेर एक इकाई सँ शुरू करू। हम सभ एहन दस लाख साँझक सिमुलेशन कएलहुँ। यूरोपीय व्हील पर 52% आगाँ रहि क' समाप्त होइत अछि, 21% सभ किछु हारि जाइत अछि, आ औसत परिणाम −124 इकाई अछि। शून्यव्हीलशून्यएकमात्र हरियर पॉकेट जकरा कोनो सम-धन, दर्जन वा कॉलम दाँव कवर नहि करैत अछि; हाउस एजक स्रोत। एकरा सिंगल ज़ीरो, 0 सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → बिनाक खेलो मे, जतए प्रत्येक दाँव निष्पक्ष अछि, मात्र लगभग 60% आगाँ रहि क' समाप्त होइत। सामान्य साँझ एकटा छोट जीत अछि; औसतक भुगतान ओ साँझ करैत अछि जे शून्य पर खतम होइत अछि।
सीख
कैसिनो सीमा अपन प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मानक चारू कात परिणाम कतेक पसरल अछि, तकर माप। स्ट्रेट-अप लेल बेसी, सम-धन दाँव लेल कम।पूरा पढ़ू → केँ बान्हबाक लेल रखैत अछि, सिस्टम सभकेँ हरएबाक लेल नहि। मार्टिंगेलकेँ हराएब एकटा एहन पार्श्व प्रभाव अछि जे ओकरा नीक लगैत छैक, आ गणित तँ ओकरा कोनाहु हरा दितए। जे खेलाड़ी सीमाकेँ समस्या बुझैत अछि, ओ कगार ताकि लेलक आ ओकरा ढलान बुझि लेलक।
सूत्र
प्रश्न सभ
ई अहाँकेँ ऊँच सीमा धरि टिकए दैत अछि, जतए टूटब दुर्लभ आ पैघ अछि। प्रति डॉलर अपेक्षित हानि नहि बदलैत अछि।
दाँव 10, 30, 70, 150, 310: $500 क सीमा पाँच हारक बाद आबि जाइत अछि, आ टूटबाक दाम $570 अछि। ओएह 2.70%।
जाहि सँ कोनो एक खेलाड़ी ओतबा सँ बेसी दाँव नहि लगा सकए जतबा कैसिनोक रिज़र्व आराम सँ चुका सकए। प्रसरणक प्रबंधन।
गणितक संग मनोरंजन
पहिने अपने सँ हल करबाक प्रयास करू। सभ समाधान बन्न अछि; तैयार होइ तँ खोलू।
एकटा मार्टिंगेलरणनीतिमार्टिंगेलप्रत्येक हारिक बाद दाँव दोबर करए बला प्रगति-क्रम। ई की करैत अछि आ की नहि, ताहि लेल रणनीति भाग देखू।पूरा पढ़ू → लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → पर $100 सँ शुरू होइत अछि आ प्रति चक्र अधिकतम n दाँवक अनुमति दैत अछि: लगातार n हारक बाद ई छोड़ि कए फेर शुरू करैत अछि। एक चक्रक औसत परिणाम n मे सूत्रक रूप मे लिखू, आ यूरोपीय व्हील पर 5, 6 आ 7 दाँव लेल निकालू।
समाधान देखू
उत्तर औसत 100 × (1 − (38/37)ⁿ) अछि: 5 दाँव लेल −$14.26, 6 लेल −$17.35 आ 7 लेल −$20.52। बेसी दाँवक अनुमति औसत चक्र केँ खराब करैत अछि, नीक नहि।
चक्र $100 जीतैत अछि जाबत सभ n दाँव नहि हारए, जे qⁿ संभावना सँ होइत अछि, जतए q = 19/37। जखन सभ हारैत अछि, दाँव 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ जुड़ि कए 100 × (2ⁿ − 1) होइत अछि। तेँ औसत 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) अछि।
एतए 2q = 38/37, 1 सँ किछु बेसी, तेँ (2q)ⁿ n संग बढ़ैत अछि आ औसत खसैत अछि: n = 5 सँ 1.1426 आ −$14.26; n = 6 सँ 1.1735 आ −$17.35; n = 7 सँ 1.2052 आ −$20.52। लंबा सीढ़ी कम बेर हारैत अछि, 3.6%, 1.8% आ 0.9% चक्र मे, मुदा प्रत्येक हार दोबर पैघ होइत अछि, आ प्रत्येक चक्र मे बेसी पाइ टेबल पार करैत अछि, प्रत्येक दाँवक 2.70% पर।
अमेरिकी व्हील पर 2q = 40/38 आ आँकड़ा −$29.24, −$36.04 आ −$43.20 अछि (Taylor, 2021)। बिना शून्यव्हीलशून्यएकमात्र हरियर पॉकेट जकरा कोनो सम-धन, दर्जन वा कॉलम दाँव कवर नहि करैत अछि; हाउस एजक स्रोत। एकरा सिंगल ज़ीरो, 0 सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → बला खेल मे 2q = 1, आ प्रत्येक चक्रक औसत ठीक शून्य अछि, सीढ़ी कतबो लंबा हो।
“ग्रैंड मार्टिंगेल” हारक बाद दाँवक राशि दोबर करैत अछि आ एक इकाईपाइइकाईओ आधार दाँव जाहि मे कोनो सिस्टम वा खेलाड़ी काज करैत अछि। प्रगति-क्रम इकाई मे वर्णित होइत अछि जाहि सँ ओ कोनो टेबल पर लागू होअए।पूरा पढ़ू → जोड़ैत अछि, तेँ दाँव 1, 3, 7, 15, 31 … चलैत अछि। जखन पहिल जीत 1म, 2म, 3म वा k-म दाँव पर अबैत अछि तँ अहाँ कतेक आगाँ छी? $10 क इकाई आ $500 क अधिकतम पर, चक्र कतेक बेर टुटैत अछि, आ एक चक्रक औसत दाम की अछि?
समाधान देखू
उत्तर k-म दाँव पर जीत अहाँकेँ k इकाई आगाँ रखैत अछि: +1, +2, +3 आदि। $10 आ $500 पर चक्र पाँच हारक बाद टुटैत अछि, 3.57% चक्र मे, −$570 लेल। औसतन एक चक्र लगाओल $85.73 मे सँ $2.32 हारैत अछि: 2.70%।
k-म दाँव 2ᵏ − 1 इकाई अछि: 1, 3, 7, 15, 31। पहिल k − 1 दाँव जुड़ि कए 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 होइत अछि। k-म दाँव पर जीत 2ᵏ − 1 दैत अछि, तेँ चक्र (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k इकाई आगाँ खतम होइत अछि: जीत सँ पहिनेक प्रत्येक हार लेल एक अतिरिक्त इकाई।
प्रति इकाई $10 पर दाँव $10, $30, $70, $150 आ $310 अछि; अगिला, $630, $500 क अधिकतम सँ ऊपर अछि। लगातार पाँच हार, (19/37)⁵ = 3.57%, क दाम 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 अछि।
औसत: जीत k = 1 सँ 5 लेल (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 संभावना सँ $10 × k अनैत अछि, आ टूटब 3.57% संभावना सँ $570 लैत अछि; संगे −$2.32। लगाओल पाइ प्रति चक्र औसतन $85.73 अछि, आ 2.32/85.73 = 2.70%। ओही टेबल पर साधारण मार्टिंगेल छह हारक बाद टुटैत अछि, 1.83% चक्र मे, −$630 लेल, आ लगाओल $64.20 मे सँ $1.74 हारैत अछि: फेर 2.70%।
एकटा खेलाड़ी लाल पर मार्टिंगेलक योजना बनबैत छथि, पहिल दाँव $1, एहन टेबल पर जकर सीमा $1,000 अछि, तेँ दस दाँव संभव अछि: $1, $2, $4 आदि $512 धरि। चक्र कतेक बेर सभ दस हारैत अछि, ओहि मे औसतन कतेक समय लगैत अछि, आ 200 दाँवक साँझ कतेक बेर एहिना खतम होइत अछि?
समाधान देखू
उत्तर चक्र लगभग 784 मे एक बेर सभ दस हारैत अछि, जकर दाम $1,023 अछि। ई औसतन लगभग 1,600 दाँव अछि, आ 200 दाँवक साँझ लगभग 11% बेर देबाल सँ टकराइत अछि। चक्र तैयो लगाओल $11.31 मे सँ औसतन $0.31 हारैत अछि: 2.70%।
लाल पर दाँव 19/37 संभावना सँ हारैत अछि, शून्य सहित। लगातार दस: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, लगभग 784 मे 1। दाँव 1 + 2 + 4 + … + 512 जुड़ि कए $1,023 होइत अछि।
चक्र औसतन 2.05 दाँव लैत अछि, तेँ 784 चक्र लगभग 1,600 दाँव लैत अछि। स्पिन-दर-स्पिन गनला पर, दस हारक क्रम 200 दाँव मे कतहु 11.3% बेर अबैत अछि।
विपत्तिक बीच खेलाड़ी प्रति चक्र $1 जीतैत छथि: खराब चक्र सँ पहिने लगभग $783, फेर −$1,023, पूरा अवधि मे लगभग −$240। प्रति चक्र: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31। प्रति चक्र लगाओल पाइ: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31। आ −0.31/11.31 = −2.70%।
तुलना करू $500 सीमा पर $10 क पहिल दाँव, छह दाँव: देबाल 55 चक्र मे एक बेर अबैत अछि, आ 200 दाँवक साँझ 84% बेर ओकरा सँ भेटैत अछि। ऊँच सीमा दुर्घटना केँ दुर्लभ आ पैघ बनबैत अछि, सस्ता नहि।
हँसीक विराम
प्रत्येक सीमा पर बेसी दुर्लभ आ बेसी पैघ। गुणनफल स्थिर अछि।
स्रोत
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.