रूलेट मे लगातार परिणामक क्रमक प्रायिकता
एक रंगक नमगर सिलसिला आम बात अछि। अगिला स्पिनक लेल ओकर कोनो अर्थ सेहो नहि अछि।
लगातार पाँच लाल: 2.7%। दस: 0.074%। 200 स्पिनक सत्र मे एक रंगक छह बेरक सिलसिला आधा सँ बेसी बेर देखाइत अछि।
हारिक लगातार क्रम कतेक बेर अबैत अछि
सिंगल-ज़ीरो व्हील पर सम-धन दाँव 37 मे सँ 19 स्पिन मे हारैत अछि। प्रत्येक पाँति ई संभावना देखबैत अछि जे देल गेल स्पिनक क्रम सभटा हारि जाए, आ ई जे प्रत्येक हारिक बाद दाँव दोबर करए बला मार्टिंगेल खेलाड़ी ता धरि कतेक हारि चुकल अछि।
| लगातार हारि | संभावना | मोटामोटी 1 मे | एखन धरि हारल | अगिला दाँव |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
संभावना 19/37 केँ प्रत्येक हारिक लेल अपने सँ एक बेर गुणा कएला सँ भेटैत अछि, आ गिनती कोनो एक देल गेल स्पिन सँ होइत अछि। लम्बा सत्र मे एहन बहुत रास स्पिन होइत अछि जतए सँ एहन क्रम शुरू भ' सकैत अछि, तेँ एक साँझ मे ई एकटा पाँतिक संकेत सँ कतहु बेसी संभावित अछि।
एकल सिलसिला
अगिला k स्पिन सभटा लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → होएबाक प्रायिकतागणितप्रायिकताकोनो परिणामक संभावना, 0 सँ 1 वा 0% सँ 100% धरि। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ू → (18/37)ᵏ अछि। दू: 23.7%। पाँच: 2.7%। दस: 0.074%, लगभग 1,350 मे 1। बीस: 1.8 मिलियन मे 1। छब्बीस, मोंटे कार्लोक रिकॉर्ड: 137 मिलियन मे 1। ई कोनो विशेष स्पिन सँ शुरू होमए बला विशेष सिलसिलाक प्रायिकता अछि, आ लगभग कियो वास्तव मे ई प्रश्न नहि पुछैत अछि।
एक सत्र मे
लोक जे प्रश्न पुछए चाहैत अछि से अछि “की हमर सत्र मे कतहु k क सिलसिला आओत?”, आ एकर उत्तर (18/37)ᵏ सँ बहुत पैघ अछि, किएक तँ 200 स्पिनक सत्र मे सिलसिला शुरू होएबाक लगभग 200 ठाम अछि। एके रंगक, लाल वा कारीदाँवकारी18 कारी संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: noir।पूरा पढ़ू →, छह वा बेसीक सिलसिला 200 स्पिनक सत्र मे लगभग 94% बेर अबैत अछि; आठ वा बेसी लगभग 47%; दस वा बेसी लगभग 14%। रंग पहिने सँ तय क' दिऔक तँ संभावना घटि क' लगभग 75%, 27% आ 7% भ' जाइत अछि। जे खेलाड़ी साँझ भरि बैसैत अछि, ओ प्रत्येक साँझ नमगर सिलसिला देखत।
मार्टिंगेलकेँ एकर चिंता किएक
प्रत्येक नकारात्मक प्रगति-क्रमरणनीतिप्रगति-क्रमपछिला परिणामक आधार पर दाँव बदलए बला कोनो नियम। नकारात्मक प्रगति-क्रम हारलाक बाद बढ़बैत अछि, सकारात्मक जीतलाक बाद।पूरा पढ़ू →क एकटा सिलसिला-लंबाई होइत अछि जे ओकरा तोड़ि दैत अछि: $500 क सीमा पर $10 आधार सँ छह हार, फ़िबोनाचीरणनीतिफ़िबोनाची1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… क्रमक पालन करए बला प्रगति-क्रम: हारलाक बाद एक डेग आगाँ, जीतलाक बाद दू डेग पाछाँ।पूरा पढ़ू → क लेल दस, दर्जनदाँवदर्जन1–12, 13–24 वा 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ू → पर तीन गुना करबाक लेल पाँच। सम-धन पर लगातार छह हारक प्रायिकता प्रति प्रयास (19/37)⁶ ≈ 1.8% अछि, आ 200 स्पिनक सत्र मे शायद 100 प्रयास होइत अछि, तेँ एतेक नमगर सत्र मे सँ मोटामोटी पाँच मे चारि मे ई टूटब आबिए जाइत अछि। रूलेट मे सिलसिलाक प्रायिकते कारण अछि जे ई खाधि दुर्लभ नहि अछि।
गरम आ ठंढ़ा संख्या
एही गणित स्ट्रेट-अपदाँवस्ट्रेट-अपएकटा संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ू → पर लागू होइत अछि। 300 स्पिन मे प्रति संख्या अपेक्षित गिनती 8.1 अछि; मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरणक वर्गमूल; परिणामक अपेक्षित मान सँ सामान्य दूरी।पूरा पढ़ू → लगभग 2.8 अछि। प्रत्येक बेर मात्र संयोग सँ कोनो संख्या 15 हिट आ कोनो 2 देखाओत। “गरम” संख्याकेँ उभारए बला परिणाम-बोर्ड सामान्य वितरणक शिखरकेँ उभारैत अछि। लैब बतबैत अछि जे गरम संख्यामिथकगरम संख्याएहन संख्या जे हालहि मे अपेक्षा सँ बेसी बेर आएल अछि। निष्पक्ष व्हील पर ओ किछु नहि बतबैत अछि।पूरा पढ़ू → क कोनो अर्थ होएबा सँ पहिने कतेक स्पिन चाही (हजारो, एकटा चिन्हल व्हील सँ)।
स्वतंत्रते मूल बात अछि
लगातार दस लाल कारीकेँ बेसी संभावित नहि बनबैत अछि, आ लालोकेँ नहि। दुनू 18/37 अछि। सिलसिला यादृच्छिक अनुक्रमक गुण अछि आ ओकर अनुपस्थिति शंकास्पद होइत: 200 स्पिनक एहन अनुक्रम जाहि मे चारि सँ नमगर कोनो सिलसिला नहि हो, बारहक सिलसिला बला अनुक्रम सँ छेड़छाड़क कतहु बेसी पक्का प्रमाण होइत।
सूत्र
प्रश्न सभ
18 अगस्त 1913 केँ मोंटे कार्लो मे 26 कारी सभ सँ प्रसिद्ध अछि। 1943 मे एकटा अमेरिकी कैसिनो मे लगातार 32 लालक सूचना भेटल छल। कैसिनो जतेक स्पिन चलबैत अछि, से देखैत दुनू संयोगक अनुरूप अछि।
दुनू दिस 18/37 अछि। अपन योजनाक अनुसार दाँव लगाउ, वा किछुओ नहि।
नहि। पक्षपात हजारो स्पिन मे किछु पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खाना मे सँ एकटा। एकरा स्लॉट, कप सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू →क बेसी बेर अएबाक रूप मे देखाइत अछि, रंगक सिलसिलाक रूप मे नहि।
गणितक संग मनोरंजन
पहिने अपने सँ हल करबाक प्रयास करू। सभ समाधान बन्न अछि; तैयार होइ तँ खोलू।
यूरोपीय व्हीलक औसतन कतेक स्पिन लगैत अछि, जाबत धरि 37 मे सँ प्रत्येक नंबर कम सँ कम एक बेर नहि आबि जाए?
समाधान देखू
उत्तर औसतन लगभग 155 स्पिन; माध्यिका 147 अछि।
प्रतीक्षा केँ एक-एक नव नंबर कए गनू। पहिल स्पिन सदिखन नव नंबर देखबैत अछि। जखन अहाँ 1 नंबर देखि लेलहुँ, तखन 37 मे 36 पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खाना मे सँ एकटा। एकरा स्लॉट, कप सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → नव अछि, तेँ अगिला नव नंबर औसतन 37/36 स्पिन लैत अछि। जखन अहाँ k नंबर देखि लेलहुँ, तखन 37/(37 − k) लगैत अछि।
प्रतीक्षा सभ जोड़ू: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 स्पिन।
एहि मे सँ बेसी भाग अंत मे अछि। मात्र अंतिम नंबर औसतन 37 स्पिन लैत अछि, आ अंतिम पाँच लगभग 85। अमेरिकी व्हील पर वैह जोड़ लगभग 161 दैत अछि। ई कूपन कलेक्टरक समस्या अछि; वैह औसत मानक गणना सँ निकलैत अछि।
यूरोपीय व्हीलक 37 स्पिन मे, प्रत्येक पॉकेट लेल एक स्पिन, अहाँ कतेक अलग-अलग नंबर देखबाक अपेक्षा करी?
समाधान देखू
उत्तर लगभग 23.6। मोटामोटी एक तिहाई नंबर, लगभग 13, एकोबेर नहि अबैत अछि।
एकटा नंबर लिअ, मानू 17। प्रत्येक स्पिन मे ओ 36/37 संभावना सँ नहि अबैत अछि, तेँ सभ 37 स्पिन मे ओकर नहि अएबाक संभावना (36/37)³⁷ ≈ 0.363 अछि।
प्रत्येक नंबरक वैह संभावना अछि, तेँ औसतन 37 × 0.363 ≈ 13.4 नंबर छूटि जाइत अछि आ 37 − 13.4 ≈ 23.6 अबैत अछि, ओहि मे सँ बहुत दू बेर वा बेसी।
रूलेट खेलाड़ी एकरा तिहाईक नियम कहैत छथि। ई कोनो नियम नहि, मात्र दोहरावक अंकगणित अछि: व्हीलक बराबर लंबा क्रम मे लगभग एक तिहाई नंबर बाहर रहैत अछि, निष्पक्ष व्हील पर ओहिना जेना आन कोनो पर। 38 पॉकेट पर सेहो ई हिस्सा (37/38)³⁸ ≈ 0.363 अछि; पैघ व्हील लेल ई 1/e ≈ 0.368 लग स्थिर होइत अछि।
एकटा मित्र अहाँकेँ 50 रंगक दू टा सूची देखबैत छथि, लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → वा कारीदाँवकारी18 कारी संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: noir।पूरा पढ़ू →, दुनू एहन व्हील सँ आएल कहल गेल जाहि मे शून्यव्हीलशून्यएकमात्र हरियर पॉकेट जकरा कोनो सम-धन, दर्जन वा कॉलम दाँव कवर नहि करैत अछि; हाउस एजक स्रोत। एकरा सिंगल ज़ीरो, 0 सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → छोड़ि देल गेल। एकटा मे रंग 25 बेर बदलैत अछि आ ओकर सभसँ लंबा क्रम छह अछि। दोसर मे 35 बेर बदलैत अछि आ कहियो तीन सँ आगाँ नहि जाइत अछि। कोन बनाओल गेल अछि?
समाधान देखू
उत्तर दोसर। असली सूची लगभग 24 वा 25 बेर बदलैत अछि। 35 बदलाव बला सूची 500 सूची मे लगभग एक बेर अबैत अछि, आ जाहि मे कोनो क्रम तीन सँ लंबा नहि हो, से 100 मे लगभग दू बेर।
प्रत्येक नव रंग या तँ पछिला केँ दोहरबैत अछि वा बदलैत अछि, आधा-आधा, तेँ बदलबाक 49 अवसर औसतन 24.5 बदलाव दैत अछि, लगभग 3.5 कम-बेसी। पैंतीस औसत सँ एहन तीन डेग ऊपर अछि; निष्पक्ष व्हील एतेक बदलाव 500 सूची मे लगभग एक बेर दैत अछि।
क्रम सभ सेहो वैह कथा कहैत अछि। 50क असली सूची मे लगभग 98% बेर चारि वा बेसीक क्रम होइत अछि, आ ओकर सभसँ लंबा क्रम प्रायः पाँच वा छह होइत अछि।
जखन लोक सँ यादृच्छिक सूची बनएबाक लेल कहल जाइत अछि तँ ओ बहुत बेसी बेर बदलैत छथि, किएक तँ चारि वा पाँचक क्रम हुनका कोनो पैटर्न जकाँ लगैत अछि। Taylor (2021) छात्र सभक बनाओल सिक्का उछालक सूची मे वैह संकेत देखबैत छथि: असली यादृच्छिकता लोकक अपेक्षा सँ बेसी क्रम बला होइत अछि।
कैसिनोक कथाक एकटा पोथी एकटा खेलाड़ीक बात कहैत अछि जकर नंबर लगातार पाँच बेर आएल आ एकरा रिकॉर्ड कहैत अछि। यूरोपीय व्हील पर ई कतेक दुर्लभ अछि? आ 20 टेबल बला एकटा कैसिनो मे, जतए प्रत्येक टेबल दिन-राति घंटा मे 40 बेर स्पिन करैत अछि, ई कतहु कतेक बेर होएबाक चाही?
समाधान देखू
उत्तर नामित नंबरक लगातार पाँच बेर आएब: 69 मिलियन मे 1। कोनो नंबर पहिल बेर अएलाक बाद आओर चारि बेर आएब: 1.87 मिलियन मे 1। ओ कैसिनो सालक लगभग 7 मिलियन बेर स्पिन करैत अछि, तेँ ओतए साल मे तीन वा चारि बेर पाँचक क्रम देखल जएबाक चाही।
नामित नंबर प्रत्येक स्पिन मे 1/37 संभावना सँ अबैत अछि, तेँ लगातार पाँचक संभावना (1/37)⁵ = 6,93,43,957 मे 1 अछि। मुदा कोनो पहिने सँ नंबर नहि कहैत अछि। जे किछु पहिने आबए, अगिला चारि स्पिन केँ ओकरा दोहराबए पड़त: (1/37)⁴ = 18,74,161 मे 1।
20 टेबल × 40 स्पिन × 24 घंटा × 365 दिन = साल मे 70,08,000 स्पिन। प्रत्येक स्पिन क्रम शुरू कए सकैत अछि, तेँ कैसिनो साल मे 70,08,000/18,74,161 ≈ 3.7 पाँचक क्रमक अपेक्षा करैत अछि।
एहि तरहक कोनो आधिकारिक रिकॉर्ड नहि अछि, आ ओकर आवश्यकता सेहो नहि: एक टेबल पर दुर्लभ घटना पूरा कैसिनो मे साधारण अछि, आ कथा ओहि टेबलक कहल जाइत अछि जतए ई भेल। Goldman (2007) मे ई कथा डबल-ज़ीरो व्हील पर अछि, जतए आँकड़ा 79 मिलियन मे 1 आ 2.09 मिलियन मे 1 अछि।
हँसीक विराम
नमगर सिलसिले तँ यादृच्छिकताक असली रूप अछि।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.