दीर्घकालिक अभिसरण: रूलेट मे पैघ संख्याक नियम
औसत −2.70% दिस कोना स्थिर होइत अछि, आ एहि मे अंतर्ज्ञान सँ बेसी समय किएक लगैत अछि।
स्पिन बढ़ैत गेला पर प्रति स्पिन औसत हानि −1/37 दिस अभिसरित होइत अछि, आ फैलाव 1/√N जकाँ घटैत अछि। लाल पर 1,000 स्पिनक बाद औसत सामान्यतः अपन अपेक्षाक ±3% क भीतर रहैत अछि।
पैघ संख्याक नियम
स्वतंत्र दाँव सभक चालू औसत अपेक्षित मानगणितअपेक्षित मानदीर्घकाल मे प्रति दाँव औसत परिणाम। प्रत्येक मानक यूरोपीय दाँव लेल दाँवक −1/37।पूरा पढ़ू → दिस जाइत अछि। एक इकाईपाइइकाईओ आधार दाँव जाहि मे कोनो सिस्टम वा खेलाड़ी काज करैत अछि। प्रगति-क्रम इकाई मे वर्णित होइत अछि जाहि सँ ओ कोनो टेबल पर लागू होअए।पूरा पढ़ू → पर N सम-धन स्पिनक बाद प्रति स्पिन औसत परिणामक अपेक्षा −1/37 आ मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरणक वर्गमूल; परिणामक अपेक्षित मान सँ सामान्य दूरी।पूरा पढ़ू → 1/√N होइत अछि। N = 100 पर ओ फैलाव दाँवक 10% अछि, 2.7% संकेतक लगभग चारि गुना। N = 1,000 पर ओ 3.2% अछि, संकेतक लगभग बराबर। N = 10,000 पर ओ 1% अछि, आ एज साफ देखाइत अछि। एक सत्र मे एज अदृश्य रहैत अछि आ एक बरख मे असंदिग्ध।
की अभिसरित होइत अछि आ की नहि
प्रति स्पिन औसत अभिसरित होइत अछि। कुल नहि: N बढ़ला पर ओ शून्य सँ आर दूर जाइत अछि, अपेक्षा मे N क लगभग 2.7%, आ ओकर चारू कात √N क फैलाव रहैत अछि। जे खेलाड़ी $10 पर 10,000 स्पिन खेलि चुकल अछि, ओकर $2,700 नीचाँ रहबाक अपेक्षा अछि, $1,000 आगाँ-पाछाँ। लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → क चालू अनुपात बहुत पहिने 48.65% क लग स्थिर भ' गेल अछि; चालू शेष कतहु स्थिर नहि भेल अछि।
- p10 −$440
- p25 −$280
- माध्यिका −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
अंतर्ज्ञान किएक चूकि जाइत अछि
लोक सोचैत अछि जे एज जल्दी देखा जाएत, किएक तँ 2.70% बहुत लगैत अछि; आ सोचैत अछि जे लम्बा क्रम “बराबर भ' जाएत”, किएक तँ पैघ संख्याक नियमगणितपैघ संख्याक नियमस्वतंत्र परिणामक औसत, परीक्षणक संख्या बढ़ला पर, अपेक्षित मान दिस अभिसरित होइत अछि।पूरा पढ़ू → कहैत अछि जे औसत अभिसरित होइत अछि। दुनू अंतर्ज्ञान पैमाना गलत बुझैत अछि: एक स्पिनक प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मानक चारू कात परिणाम कतेक पसरल अछि, तकर माप। स्ट्रेट-अप लेल बेसी, सम-धन दाँव लेल कम।पूरा पढ़ू → क तुलना मे एज छोट अछि (σ = 1 इकाई, जखन कि EV = 0.027), तेँ एक-सिग्मा देखाइ पड़बा मे (1/0.027)² ≈ 1,400 स्पिन लगैत अछि। आ औसतक अभिसरण कुलकेँ पाछाँ खींचबाक लेल किछु नहि करैत अछि; ओ मात्र पछिला उतार-चढ़ावकेँ पातर करैत अछि।
आन दाँव सभक लेल अभिसरण
स्ट्रेट-अपदाँवस्ट्रेट-अपएकटा संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ू → क लेल σ = 5.84 अछि, तेँ वैह गणना एजकेँ एक सिग्मा धरि पहुँचबाक लेल (5.84/0.027)² ≈ 47,000 स्पिन दैत अछि। स्ट्रेट-अप खेलाड़ी बरखो धरि खेलि सकैत अछि आ अपन रिकॉर्ड मे एजकेँ भाग्य सँ अलग नहि क' सकैत अछि, जखन कि ओ ठीक ओतबे 2.70% चुकबैत अछि जतबा लाल पर खेलनिहार, जे एकरा किछुए सप्ताह मे देखि लैत अछि।
सिस्टमक परीक्षणक लेल निहितार्थ
जे कियो दाबा करैत अछि जे कोनो सिस्टम काज करैत अछि, ओकरा 10,000 वा बेसी स्पिन मे दर्ज कएल सकारात्मक औसत देखाबए पड़तैक। 1,000 स्पिन मे सम-धन पर सकारात्मक औसत शून्य परिकल्पनाक अंतर्गत पाँच मे एक बेरक घटना अछि; 100 स्पिन मे ओ लगभग सिक्का उछालबा सन अछि। एहि साइटक सिमुलेटर एक सेकेंड मे अहाँक चुनल लम्बाइक 2,000 सत्र चलबैत अछि, जे कोनो प्रशंसापत्र सँ बेसी प्रमाण अछि।
सूत्र
प्रश्न सभ
खेलैत रहला पर फेर कहियो आगाँ होएबाक प्रायिकतागणितप्रायिकताकोनो परिणामक संभावना, 0 सँ 1 वा 0% सँ 100% धरि। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ू → शून्य दिस घटैत जाइत अछि। कुल बिना कोनो सीमाक नीचाँ खसैत जाइत अछि।
नहि। एकर अर्थ अछि जे पछिला उतार-चढ़ाव एकटा पैघ नमूनाक छोट अंश बनि जाइत अछि।
सम-धन लेल लगभग 10,000, तखन जा क' एज साफ देखाइत अछि। स्ट्रेट-अप लेल लगभग 50,000।
गणितक संग मनोरंजन
पहिने अपने सँ हल करबाक प्रयास करू। सभ समाधान बन्न अछि; तैयार होइ तँ खोलू।
दू मित्र निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलएहन खेल जाहि मे कोनो पक्षकेँ एज नहि रहैत अछि: प्रत्येक दाँवक अपेक्षित मान शून्य होइत अछि।पूरा पढ़ू → क 20 राउंड खेलैत छथि, सिक्का उछाल वा लालदाँवलाल18 लाल संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: rouge।पूरा पढ़ू → बनाम कारीदाँवकारी18 कारी संख्या पर सम-धन दाँव। फ्रेंच: noir।पूरा पढ़ू → जाहि मे शून्यव्हीलशून्यएकमात्र हरियर पॉकेट जकरा कोनो सम-धन, दर्जन वा कॉलम दाँव कवर नहि करैत अछि; हाउस एजक स्रोत। एकरा सिंगल ज़ीरो, 0 सेहो कहल जाइत अछि।पूरा पढ़ू → वापस होइत अछि, आ चलैत स्कोर रखैत छथि। ओ राउंड गनू जाहि मे प्रत्येक आगाँ छथि (बराबरी ओकरा गनाइत अछि जे ठीक पहिने आगाँ छलाह)। कोन बेसी संभावित अछि: बढ़त 10 आ 10 राउंड बँटल हो, वा एक मित्र सभ 20 मे आगाँ रहथि?
समाधान देखू
उत्तर एक मित्रक सभ 20 राउंड मे आगाँ रहब बहुत बेसी संभावित अछि: 35.2%, कोनो मित्र केँ गनि कए, बराबर 10 आ 10 क 6.1% क तुलना मे।
2k राउंडक बाद निष्पक्ष चलैत स्कोरक बराबर होएबाक संभावना u = C(2k, k)/2²ᵏ अछि: 10 राउंडक बाद 0.246 आ 20 क बाद 0.176। एकटा शास्त्रीय परिणाम, आर्क-साइन नियम, कहैत अछि जे एकटा नामित मित्रक 2n मे सँ ठीक 2k राउंड आगाँ रहबाक संभावना u(2k) × u(2n − 2k) अछि।
सभ 20 मे आगाँ: प्रत्येक मित्र लेल u(20) × u(0) = 0.176, कोनो लेल 35.2%। बराबर बँटवारा: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, सभ बँटवारा मे सभसँ कम संभावित।
तेँ निष्पक्ष खेल मे बढ़त कमे हाथ बदलैत अछि। जे खेलाड़ी साँझ भरि आगाँ रहलाह, वा साँझ भरि पाछाँ, ओ किछु असाधारण नहि देखलनि, आ ई व्हील वा कौशलक बारे मे किछु नहि कहैत अछि। Epstein (2013) लंबा खेल लेल वैह नियम दैत छथि: आधा बेर भाग्यशाली पक्ष खेलक 85% सँ बेसी भाग मे आगाँ रहैत अछि।
हँसीक विराम
औसत अभिसरित होइत अछि। कुल बस चलि जाइत अछि।
स्रोत
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.